加法定理の取扱説明書~その2~

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どうも。ひらです。今日も数学、やっていますか?
今回の記事は「加法定理の取扱説明書~その2~」ということで、
加法定理から派生する公式を紹介していきます。

前回からの続きになっているので、まだ読んでいない方は「加法定理の取扱説明書~その1~」もご覧ください!
↓URL
hiramath7236.hatenablog.com

* 復習:加法定理
sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta   ・・・①

cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta   ・・・②

これにくわえて、\betaが負の場合の

sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta   ・・・③

cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta   ・・・④

この4つの式から考えていきます。

1:倍角公式

公式

sin2\alpha=2sin\alpha cos\beta
cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha

公式の意味

加法定理①,②の\alpha=\betaの場合。

できること

(左辺)→(右辺)
sinやcosの中身が半分になるので、cos\alphaだけやsin\alphaだけ式をそろえるときに役立つ。

例:cos\alphaだけの形にしたい!
 sin\alphaだけの形にしたい!

三角関数の最大最小問題で重要!

(左辺)←(右辺)
2乗の形を変形して1乗の簡単な形に変形することができる
積分の計算で重要!

コメント

加法定理からも導き出すことがでるが、使う場面が多いので、覚えておくべき公式。

2:半角公式

公式

sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-cos\alpha}{2}
cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+cos\alpha}{2}
tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-cos\alpha}{a+cos\alpha}

公式の意味

倍角公式を2乗イコールの形に変形した場合。
本質的には倍角公式と同じ。

できること

倍角公式のときと同じです。

コメント

倍角公式を理解していればこの公式は導き出せるので、この公式をわざわざ覚える必要はないです。

3:積和、和積の公式

公式

~積和~
sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}sin(\alpha-\beta)}
sin\alpha cos\beta=\frac{1}{2}{cos(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}cos(\alpha-\beta)}

cos\alpha sin\beta=\frac{1}{2}{sin(\alpha+\beta)-\frac{1}{2}sin(\alpha-\beta)}
cos\alpha cos\beta=\frac{-1}{2}{cos(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}cos(\alpha-\beta)}



~和積~
sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha+\beta}{2}
sin\alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}
cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha+\beta}{2}

公式の意味

加法定理①と②を、③と④をそれぞれ足したものと引いたもの。

できること

~積和~
掛け算を足し算の形に変形できる。
三角関数積分計算で重要!

~和積~
足し算を掛け算の形に変形できる。
式を簡単にしたいときに重要!

コメント

積和、和積の公式は使うことが倍角公式や半角公式に比べると多くないですが、知らないと解けない場合もあるので注意してください。

さいごに

今回紹介した3つの公式たちはすべて加法定理から導き出せる公式です。
公式の導出過程も確認してみてください。
それでは。