余弦定理の取扱説明書

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どうも。ひらです。今日も数学、やってますか?
今回の取扱説明書は「余弦定理」です。
前回は正弦定理だったので合わせてお読みください!
前回の記事はこちらから↓↓↓
hiramath7236.hatenablog.com




公式

a^2=b^2+c^2-2bccosA

 \displaystyle cosA = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

公式の意味

余弦定理は「三角形の辺の長さと角の関係式」です。

つまり、この公式を使えば

  • 辺の長さ
  • 角の大きさ

がわかるということです!

名前の付け方

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ここではそれぞれの角の大きさを
∠BAC=A ∠ACB=B ∠CBA=C
また、三角形の辺の長さを
BC=a CA=b AB=c
と置きます。

使うときの3つのSTEP

使うときは3つのSTEPを踏みましょう!

~辺を求めるとき~

STEP1:長さがわかっている2つの辺のペアを探す
上の図でいうと、bとcのようなペアです。

STEP2:STEP1の辺のペアに挟まれた角を探す
上の図でいうと、bとcに挟まれているのは角Aです。

STEP3:公式に入れて計算する。
あとは数式に代入して計算してみましょう。答えが出てきます。

~角を求めるとき~

STEP1:長さがわかっている3つの辺を探す
上の図でいうと、(a,b,c)です。

STEP2:公式に入れて計算する。
あとは数式に代入して計算してみましょう。答えが出てきます。

こんな時に使うかも?

余弦定理は三角比の問題では必ずと言っていいほど使います。

その1:三角形に関係するもの
  • 辺の長さを求めなさい
  • 角を求めなさい
その2:円に内接する四角形

よくある問題ながらつまづく人が多いところです。
四角形は対角線を引けば2つの三角形に分かれます。


問題の中で以下の単語が出てきたら使えるかも?と疑っておきましょう。

  • 三角比
  • 三角形
  • 外接円
  • 「円に内接する~」
注意!

余弦定理は円に内接する三角形の定理ですが、すべての三角形は円に接するので
問題の中に外接円が出てきていなくても角度の大きさと辺の長さがわかれば使うことができるので注意しましょう。

一緒に使いそうな定理

「円に内接する~」定理は大体一緒に使う可能性があります。
例は以下の通り

  • sin^2{x}+cos^2{x}=1

sinの値が求まってcosの値を知りたいときに使います。

  • 正弦定理

sinの値が求まって、外接円の半径を求めたいときに用います。

  • 加法定理(角を足し合わせたい)

sinAとsinBがわかって、sin(A+B)やcos(A+B)を求めたいときに使います。

↓あんまり関係はなさそうだけど一応


それでは。